Soal dan Jawaban Barisan dan Deret Aritmatika untuk Latihan Sumatif akhir jenjang

Belajar Barisan dan Deret Aritmatika

Pendahuluan

Pernahkah Anda menghitung jumlah total hadiah dalam perlombaan yang semakin bertambah setiap tahapnya? Atau mungkin Anda penasaran bagaimana menghitung jarak total yang dicapai oleh seseorang yang berjalan dengan pola tertentu? Semua ini dapat diselesaikan dengan konsep barisan dan deret aritmatika.

Dalam kehidupan sehari-hari, konsep ini sangat berguna untuk memecahkan masalah yang melibatkan pola atau urutan angka. Sebelum kita mendalami materi ini, coba pikirkan: "Jika sebuah tangga memiliki jarak antar anak tangga yang sama, berapa jarak totalnya dari dasar hingga anak tangga ke-20?"

Pengertian Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah susunan bilangan di mana setiap bilangan setelah bilangan pertama diperoleh dengan menambahkan bilangan tetap yang disebut beda (b).

Deret aritmatika adalah jumlah dari beberapa suku pertama dalam barisan aritmatika.

Rumus Umum

1. Barisan Aritmatika

Rumus suku ke-n (Un):
Un = a + (n - 1) × b

2. Deret Aritmatika

Rumus jumlah n suku pertama (Sn):
Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Atau:
Sn = n/2 × (a + Un)

Contoh Soal dan Jawaban

Berikut adalah 20 contoh soal, dari yang mudah hingga sulit:

Contoh 1 (Mudah)

Barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-10!

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = 3 + (10 - 1) × 4 = 3 + 36 = 39
Jadi, suku ke-10 adalah 39.

Contoh 2 (Mudah)

Barisan aritmatika: 5, 10, 15, ... Berapa jumlah 5 suku pertama?

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 5/2 × (2 × 5 + (5 - 1) × 5) = 5/2 × (10 + 20) = 75
Jadi, jumlahnya adalah 75.

Kesimpulan

Barisan dan deret aritmatika adalah konsep dasar dalam matematika yang sangat aplikatif, baik di dunia akademik maupun kehidupan nyata. Dengan memahami konsep ini, Anda dapat menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan pola dan urutan angka.

Ingatlah: Latihan adalah kunci utama untuk menguasai materi ini. Teruslah mencoba, dan Anda akan semakin mahir. Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk belajar lebih lanjut!

© 2024 Blog Matematika. Semua Hak Dilindungi.

Contoh Soal dan Jawaban

Berikut adalah 20 soal tentang barisan dan deret aritmatika yang disertai dengan jawaban, mulai dari yang mudah hingga sulit:

Soal 1 (Mudah)

Barisan aritmatika: 2, 4, 6, 8, ... Tentukan suku ke-15!

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = 2 + (15 - 1) × 2 = 2 + 28 = 30
Jadi, suku ke-15 adalah 30.

Soal 2 (Mudah)

Barisan aritmatika: 3, 6, 9, 12, ... Berapa jumlah 5 suku pertama?

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 5/2 × (2 × 3 + (5 - 1) × 3) = 5/2 × (6 + 12) = 45
Jadi, jumlahnya adalah 45.

Soal 3 (Mudah)

Barisan aritmatika: 7, 10, 13, ... Berapa beda (b)-nya?

Jawaban: Beda b = U2 - U1
b = 10 - 7 = 3
Jadi, beda (b) adalah 3.

Soal 4 (Mudah)

Barisan aritmatika: 5, 10, 15, ... Tentukan jumlah 10 suku pertama.

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 10/2 × (2 × 5 + (10 - 1) × 5) = 5 × (10 + 45) = 275
Jadi, jumlahnya adalah 275.

Soal 5 (Mudah)

Tentukan suku ke-8 dari barisan 11, 14, 17, ...!

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = 11 + (8 - 1) × 3 = 11 + 21 = 32
Jadi, suku ke-8 adalah 32.

Soal 6 (Sedang)

Diberikan barisan aritmatika: -2, 1, 4, ... Tentukan suku ke-20.

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = -2 + (20 - 1) × 3 = -2 + 57 = 55
Jadi, suku ke-20 adalah 55.

Soal 7 (Sedang)

Diketahui jumlah 8 suku pertama dari barisan aritmatika adalah 96. Jika a = 4, tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
96 = 8/2 × (2 × 4 + (8 - 1) × b)
96 = 4 × (8 + 7b)
96 = 32 + 28b
28b = 64
b = 64/28 = 16/7
Jadi, beda (b) adalah 16/7.

Soal 8 (Sedang)

Jumlah dari 12 suku pertama barisan aritmatika adalah 300. Jika beda b = 2, tentukan suku pertama (a).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
300 = 12/2 × (2a + (12 - 1) × 2)
300 = 6 × (2a + 22)
300 = 12a + 132
12a = 168
a = 14
Jadi, suku pertama (a) adalah 14.

Soal 9 (Sedang)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan suku kelima 25. Tentukan beda (b).

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
U5 = 5 + (5 - 1) × b
25 = 5 + 4b
4b = 20
b = 5
Jadi, beda (b) adalah 5.

Soal 10 (Sedang)

Jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika adalah 66. Jika suku pertama 3, tentukan suku keenam.

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
66 = 6/2 × (3 + U6)
66 = 3 × (3 + U6)
22 = 3 + U6
U6 = 19
Jadi, suku keenam adalah 19.

Soal 11 (Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 2 dan suku terakhir 50 dengan jumlah 13 suku. Tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
13/2 × (2 + 50) = 338
Maka solusi lengkap di lanjutkan hingga 20....

Soal 11 (Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 2 dan suku terakhir 50 dengan jumlah 338. Tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
338 = n/2 × (2 + 50)
338 = n/2 × 52
n = 338 × 2 / 52 = 13
Un = a + (n - 1) × b
50 = 2 + (13 - 1) × b
50 = 2 + 12b
12b = 48
b = 4
Jadi, beda (b) adalah 4.

Soal 12 (Sulit)

Jika jumlah 15 suku pertama adalah 120 dan suku pertama adalah 2, tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
120 = 15/2 × (2 × 2 + (15 - 1) × b)
120 = 15/2 × (4 + 14b)
240 = 15 × (4 + 14b)
240 = 60 + 210b
180 = 210b
b = 180 / 210 = 6/7
Jadi, beda (b) adalah 6/7.

Soal 13 (Sulit)

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama 8 dan beda 3. Berapakah jumlah 20 suku pertamanya?

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 20/2 × (2 × 8 + (20 - 1) × 3)
Sn = 10 × (16 + 57)
Sn = 10 × 73 = 730
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 730.

Soal 14 (Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku ke-3 sebesar 15 dan suku ke-10 sebesar 50. Tentukan beda (b) dan suku pertama (a).

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
U3 = a + 2b = 15
U10 = a + 9b = 50
(a + 9b) - (a + 2b) = 50 - 15
7b = 35
b = 5
a + 2(5) = 15
a = 15 - 10 = 5
Jadi, beda (b) adalah 5 dan suku pertama (a) adalah 5.

Soal 15 (Sulit)

Diketahui jumlah 20 suku pertama adalah 2100, dan suku pertama adalah 20. Tentukan suku terakhir (U20).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
2100 = 20/2 × (20 + U20)
2100 = 10 × (20 + U20)
210 = 20 + U20
U20 = 210 - 20 = 190
Jadi, suku terakhir (U20) adalah 190.

Soal 16 (Sangat Sulit)

Jika suku pertama 4, beda 6, dan jumlah n suku pertama adalah 630, tentukan nilai n.

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
630 = n/2 × (2 × 4 + (n - 1) × 6)
630 = n/2 × (8 + 6n - 6)
630 = n/2 × (6n + 2)
1260 = n(6n + 2)
6n² + 2n - 1260 = 0
n² + n - 210 = 0
(n + 15)(n - 14) = 0
n = 14 (nilai positif).
Jadi, nilai n adalah 14.

Soal 17 (Sangat Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 7. Berapa suku terkecil yang lebih besar dari 200?

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
200 = 5 + (n - 1) × 7
200 = 5 + 7n - 7
200 = 7n - 2
202 = 7n
n = 202 / 7 = 28,85 (dibulatkan ke atas)
n = 29
Un = 5 + (29 - 1) × 7 = 5 + 196 = 201
Jadi, suku terkecil yang lebih besar dari 200 adalah 201.

Soal 18 (Sangat Sulit)

Barisan aritmatika memiliki 25 suku dengan jumlah total 600. Jika beda adalah 4, tentukan suku pertama (a).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
600 = 25/2 × (2a + (25 - 1) × 4)
600 = 25/2 × (2a + 96)
1200 = 25 × (2a + 96)
1200 = 50a + 2400
50a = -1200
a = -24
Jadi, suku pertama (a) adalah -24.

Soal 19 (Sangat Sulit)

Jumlah 30 suku pertama adalah 2400. Jika suku terakhir adalah 160, tentukan suku pertama (a).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
2400 = 30/2 × (a + 160)
2400 = 15 × (a + 160)
2400 = 15a + 2400
15a = 0
a = 0
Jadi, suku pertama (a) adalah 0.

Soal 20 (Sangat Sulit)

Jika jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dinyatakan oleh rumus Sn = 3n² + 2n, tentukan suku ke-10.

Jawaban: Un = Sn - S(n-1)
S10 = 3(10)² + 2(10) = 300 + 20 = 320
S9 = 3(9)² + 2(9) = 243 + 18 = 261
U10 = S10 - S9 = 320 - 261 = 59
Jadi, suku ke-10 adalah 59.

Soal dan Jawaban Ujian Sumatif Akhir Jenjang Matematika Kelas X Eksponen Kurikulum Merdeka

 

Eksponen: Pengertian, Sifat, dan Contoh Soal

Matematika Kelas X

Pengenalan Eksponen

Apakah Anda pernah mendengar istilah "pangkat" dalam matematika? Eksponen adalah salah satu konsep penting dalam aljabar yang melibatkan pengulangan perkalian bilangan. Dalam bentuk umum, aⁿ berarti bilangan a dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali.

Eksponen sering digunakan dalam berbagai aplikasi seperti ilmu pengetahuan, teknik, dan ekonomi. Pemahaman tentang sifat-sifat eksponen akan mempermudah Anda menyederhanakan ekspresi matematika yang kompleks.

Sifat-Sifat Eksponen

1. a^m × aⁿ = a^m+n
2. a^m ÷ aⁿ = a^m-n
3. (a^m)ⁿ = a^m×n
4. (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
5. a⁰ = 1, jika a ≠ 0
6. a^-n = 1/aⁿ, jika a ≠ 0

Contoh Soal dan Jawaban

Soal 1

Sederhanakan: 2³ × 2⁴

Jawaban: 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

Soal 2

Sederhanakan: (3²)³

Jawaban: (3²)³ = 3^2×3 = 3⁶ = 729

Soal 3

Sederhanakan: 5⁴ ÷ 5²

Jawaban: 5⁴ ÷ 5² = 5^4-2 = 5² = 25

Soal 4

Sederhanakan: (2×3)³

Jawaban: (2×3)³ = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216

Soal 5

Sederhanakan: 4⁰ + 2^-1

Jawaban: 4⁰ + 2^-1 = 1 + 1/2 = 1.5

Kesimpulan

Eksponen adalah alat yang sangat berguna dalam matematika, memungkinkan penyederhanaan ekspresi yang kompleks. Dengan memahami pengertian dan sifat-sifat eksponen, Anda dapat menyelesaikan soal dengan lebih mudah dan cepat. Teruslah berlatih agar lebih mahir dalam memahami konsep ini!

© 2024 Blog Matematika - Semua Hak Dilindungi.

Soal Eksponen dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-hari

Soal 6

Dalam sebuah penelitian bakteri, jumlah bakteri bertambah dua kali lipat setiap 2 jam. Jika awalnya ada 10 bakteri, berapa banyak bakteri yang ada setelah 8 jam?

Jawaban:

Jumlah bakteri mengikuti rumus N = N₀ × 2^t, di mana t adalah jumlah periode penggandaan.

Setelah 8 jam: t = 8 ÷ 2 = 4.

N = 10 × 2⁴ = 10 × 16 = 160 bakteri.

Soal 7

Sebuah investasi senilai Rp5.000.000 mengalami pertumbuhan tahunan sebesar 5% dengan penghitungan berbasis eksponen. Berapakah nilai investasi tersebut setelah 3 tahun?

Jawaban:

Rumus: A = P × (1 + r)^t

P = Rp5.000.000, r = 0.05, t = 3.

A = 5.000.000 × (1 + 0.05)³ = 5.000.000 × 1.157625 = Rp5.788.125.

Soal 8

Sebuah bola memantul dengan tinggi pantulan setengah dari tinggi sebelumnya. Jika bola dijatuhkan dari ketinggian 64 meter, berapa tinggi pantulan bola pada pantulan ke-5?

Jawaban:

Rumus: h = h₀ × (1/2)ⁿ, di mana n adalah jumlah pantulan.

h = 64 × (1/2)⁵ = 64 × 1/32 = 2 meter.

Soal 9

Sebuah komputer dapat memproses data sebesar 2¹⁰ byte dalam satu detik. Berapa banyak data yang dapat diproses dalam 60 detik?

Jawaban:

Data per detik: 2¹⁰ = 1024 byte.

Dalam 60 detik: 60 × 1024 = 61.440 byte.

Soal 10

Luas sebuah kota mengikuti model eksponensial dengan peningkatan 3% per tahun. Jika luas awalnya adalah 500 km², berapakah luasnya setelah 5 tahun?

Jawaban:

Luas = 500 × (1 + 0.03)⁵ = 500 × 1.159274 = 579.64 km².

Soal 11

Suhu sebuah benda panas turun secara eksponensial. Jika suhu awalnya 100°C dan menurun menjadi setengah setiap 15 menit, berapa suhu benda tersebut setelah 1 jam?

Jawaban:

Rumus: T = T₀ × (1/2)^t, di mana t adalah jumlah periode.

t = 60 ÷ 15 = 4.

T = 100 × (1/2)⁴ = 100 × 1/16 = 6.25°C.

Soal 12

Populasi penduduk sebuah desa meningkat secara eksponensial dengan tingkat pertumbuhan 2% per tahun. Jika populasi awal adalah 1.000 orang, berapakah populasi setelah 10 tahun?

Jawaban:

Rumus: P = P₀ × (1 + r)^t

P = 1.000 × (1 + 0.02)¹⁰ = 1.000 × 1.219004 = 1.219 orang.

Soal 13

Sebuah sumber radiasi memiliki intensitas yang berkurang menjadi sepertiga setiap jam. Jika intensitas awalnya adalah 90 unit, berapa intensitasnya setelah 3 jam?

Jawaban:

Rumus: I = I₀ × (1/3)^t

I = 90 × (1/3)³ = 90 × 1/27 = 3.33 unit.

Soal 14

Sebuah perusahaan teknologi meningkatkan kapasitas servernya setiap tahun dengan menggandakan jumlah penyimpanan. Jika awalnya tersedia 2⁵ GB, berapa kapasitas setelah 3 tahun?

Jawaban:

Kapasitas: 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256 GB.

Soal 15

Sebuah lubang hitam memiliki radius yang meningkat secara eksponensial sebesar 10% setiap tahun. Jika radius awalnya adalah 100 km, berapakah radiusnya setelah 4 tahun?

Jawaban:

Rumus: R = R₀ × (1 + r)^t

R = 100 × (1 + 0.1)⁴ = 100 × 1.4641 = 146.41 km.

Soal Grafik Eksponen

Grafik fungsi eksponensial memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan ekonomi. Berikut adalah beberapa soal tentang grafik eksponen.

Soal 16

Sebuah fungsi eksponensial diberikan oleh y = 2^x. Gambarkan grafik fungsi tersebut untuk x antara -2 hingga 2, lalu tentukan nilai y ketika x = 1.

Jawaban:

• Nilai y ketika x = 1: y = 2¹ = 2.
• Poin grafik: (-2, 0.25), (-1, 0.5), (0, 1), (1, 2), (2, 4).

Soal 17

Grafik fungsi eksponensial y = 3^x dipindahkan ke bawah sejauh 2 satuan menjadi y = 3^x - 2. Tentukan nilai minimum fungsi ini dan buatlah tabel nilai y untuk x = -1, 0, 1, dan 2.

Jawaban:

• Nilai minimum: Tidak ada nilai minimum karena grafik tidak pernah mencapai nilai negatif.
• Tabel nilai:

  x	y
  -1	3-1 - 2 = 1/3 - 2 = -5/3
  0	30 - 2 = 1 - 2 = -1
  1	31 - 2 = 3 - 2 = 1
  2	32 - 2 = 9 - 2 = 7

Soal 18

Fungsi y = 2^-x menggambarkan grafik eksponensial dengan peluruhan. Tentukan nilai y untuk x = -2, x = 0, dan x = 2. Gambarkan grafiknya.

Jawaban:

• x = -2: y = 2² = 4.
• x = 0: y = 2⁰ = 1.
• x = 2: y = 2^-2 = 1/4.
• Poin grafik: (-2, 4), (0, 1), (2, 0.25).

Soal 19

Grafik fungsi y = e^x (dengan e ≈ 2.718) digunakan dalam model pertumbuhan. Tentukan nilai y ketika x = -1, 0, 1, dan 2, lalu jelaskan sifat grafik ini.

Jawaban:

• x = -1: y = e^-1 ≈ 1/e ≈ 0.3679.
• x = 0: y = e⁰ = 1.
• x = 1: y = e¹ ≈ 2.718.
• x = 2: y = e² ≈ 7.389.
• Sifat: Grafik ini selalu meningkat untuk nilai x yang lebih besar.

Soal 20

Sebuah grafik eksponensial diberikan oleh y = 5 × 2^x. Jelaskan bagaimana grafik ini berbeda dari y = 2^x, dan tentukan nilai y ketika x = -1, 0, dan 1.

Jawaban:

• Perbedaan: Grafik y = 5 × 2^x lebih curam karena dikalikan dengan faktor 5.
• x = -1: y = 5 × 2^-1 = 5 × 1/2 = 2.5.
• x = 0: y = 5 × 2⁰ = 5 × 1 = 5.
• x = 1: y = 5 × 2¹ = 5 × 2 = 10.

Soal Menentukan Nilai x pada Fungsi Eksponensial

Soal 21

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: 2^x = 16.

Jawaban:

Ubah 16 menjadi basis yang sama: 2^x = 2⁴.

Karena basisnya sama, maka x = 4.

Soal 22

Tentukan nilai x jika: 5 × 3^x = 45.

Jawaban:

Bagikan kedua sisi dengan 5: 3^x = 9.

Ubah 9 menjadi basis yang sama: 3^x = 3².

Karena basisnya sama, maka x = 2.

Soal 23

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: 4^x = 1/16.

Jawaban:

Ubah 1/16 menjadi basis yang sama: 4^x = 4^-2.

Karena basisnya sama, maka x = -2.

Soal 24

Tentukan nilai x jika: 10^2x = 1000.

Jawaban:

Ubah 1000 menjadi basis 10: 10^2x = 10³.

Karena basisnya sama, maka 2x = 3.

Bagi kedua sisi dengan 2: x = 3/2 = 1.5.

Soal 25

Tentukan nilai x yang memenuhi: e^x = e³ × e^-2, dengan e adalah bilangan eksponensial (≈ 2.718).

Jawaban:

Gunakan sifat eksponen: e^x = e^{3 + (-2)}.

e^x = e¹.

Karena basisnya sama, maka x = 1.