Soal dan Jawaban Ujian Sumatif Akhir Jenjang Matematika Kelas X Eksponen Kurikulum Merdeka

 

Eksponen: Pengertian, Sifat, dan Contoh Soal

Matematika Kelas X

Pengenalan Eksponen

Apakah Anda pernah mendengar istilah "pangkat" dalam matematika? Eksponen adalah salah satu konsep penting dalam aljabar yang melibatkan pengulangan perkalian bilangan. Dalam bentuk umum, aⁿ berarti bilangan a dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali.

Eksponen sering digunakan dalam berbagai aplikasi seperti ilmu pengetahuan, teknik, dan ekonomi. Pemahaman tentang sifat-sifat eksponen akan mempermudah Anda menyederhanakan ekspresi matematika yang kompleks.

Sifat-Sifat Eksponen

1. a^m × aⁿ = a^m+n
2. a^m ÷ aⁿ = a^m-n
3. (a^m)ⁿ = a^m×n
4. (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ
5. a⁰ = 1, jika a ≠ 0
6. a^-n = 1/aⁿ, jika a ≠ 0

Contoh Soal dan Jawaban

Soal 1

Sederhanakan: 2³ × 2⁴

Jawaban: 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

Soal 2

Sederhanakan: (3²)³

Jawaban: (3²)³ = 3^2×3 = 3⁶ = 729

Soal 3

Sederhanakan: 5⁴ ÷ 5²

Jawaban: 5⁴ ÷ 5² = 5^4-2 = 5² = 25

Soal 4

Sederhanakan: (2×3)³

Jawaban: (2×3)³ = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216

Soal 5

Sederhanakan: 4⁰ + 2^-1

Jawaban: 4⁰ + 2^-1 = 1 + 1/2 = 1.5

Kesimpulan

Eksponen adalah alat yang sangat berguna dalam matematika, memungkinkan penyederhanaan ekspresi yang kompleks. Dengan memahami pengertian dan sifat-sifat eksponen, Anda dapat menyelesaikan soal dengan lebih mudah dan cepat. Teruslah berlatih agar lebih mahir dalam memahami konsep ini!

© 2024 Blog Matematika - Semua Hak Dilindungi.

Soal Eksponen dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-hari

Soal 6

Dalam sebuah penelitian bakteri, jumlah bakteri bertambah dua kali lipat setiap 2 jam. Jika awalnya ada 10 bakteri, berapa banyak bakteri yang ada setelah 8 jam?

Jawaban:

Jumlah bakteri mengikuti rumus N = N₀ × 2^t, di mana t adalah jumlah periode penggandaan.

Setelah 8 jam: t = 8 ÷ 2 = 4.

N = 10 × 2⁴ = 10 × 16 = 160 bakteri.

Soal 7

Sebuah investasi senilai Rp5.000.000 mengalami pertumbuhan tahunan sebesar 5% dengan penghitungan berbasis eksponen. Berapakah nilai investasi tersebut setelah 3 tahun?

Jawaban:

Rumus: A = P × (1 + r)^t

P = Rp5.000.000, r = 0.05, t = 3.

A = 5.000.000 × (1 + 0.05)³ = 5.000.000 × 1.157625 = Rp5.788.125.

Soal 8

Sebuah bola memantul dengan tinggi pantulan setengah dari tinggi sebelumnya. Jika bola dijatuhkan dari ketinggian 64 meter, berapa tinggi pantulan bola pada pantulan ke-5?

Jawaban:

Rumus: h = h₀ × (1/2)ⁿ, di mana n adalah jumlah pantulan.

h = 64 × (1/2)⁵ = 64 × 1/32 = 2 meter.

Soal 9

Sebuah komputer dapat memproses data sebesar 2¹⁰ byte dalam satu detik. Berapa banyak data yang dapat diproses dalam 60 detik?

Jawaban:

Data per detik: 2¹⁰ = 1024 byte.

Dalam 60 detik: 60 × 1024 = 61.440 byte.

Soal 10

Luas sebuah kota mengikuti model eksponensial dengan peningkatan 3% per tahun. Jika luas awalnya adalah 500 km², berapakah luasnya setelah 5 tahun?

Jawaban:

Luas = 500 × (1 + 0.03)⁵ = 500 × 1.159274 = 579.64 km².

Soal 11

Suhu sebuah benda panas turun secara eksponensial. Jika suhu awalnya 100°C dan menurun menjadi setengah setiap 15 menit, berapa suhu benda tersebut setelah 1 jam?

Jawaban:

Rumus: T = T₀ × (1/2)^t, di mana t adalah jumlah periode.

t = 60 ÷ 15 = 4.

T = 100 × (1/2)⁴ = 100 × 1/16 = 6.25°C.

Soal 12

Populasi penduduk sebuah desa meningkat secara eksponensial dengan tingkat pertumbuhan 2% per tahun. Jika populasi awal adalah 1.000 orang, berapakah populasi setelah 10 tahun?

Jawaban:

Rumus: P = P₀ × (1 + r)^t

P = 1.000 × (1 + 0.02)¹⁰ = 1.000 × 1.219004 = 1.219 orang.

Soal 13

Sebuah sumber radiasi memiliki intensitas yang berkurang menjadi sepertiga setiap jam. Jika intensitas awalnya adalah 90 unit, berapa intensitasnya setelah 3 jam?

Jawaban:

Rumus: I = I₀ × (1/3)^t

I = 90 × (1/3)³ = 90 × 1/27 = 3.33 unit.

Soal 14

Sebuah perusahaan teknologi meningkatkan kapasitas servernya setiap tahun dengan menggandakan jumlah penyimpanan. Jika awalnya tersedia 2⁵ GB, berapa kapasitas setelah 3 tahun?

Jawaban:

Kapasitas: 2⁵⁺³ = 2⁸ = 256 GB.

Soal 15

Sebuah lubang hitam memiliki radius yang meningkat secara eksponensial sebesar 10% setiap tahun. Jika radius awalnya adalah 100 km, berapakah radiusnya setelah 4 tahun?

Jawaban:

Rumus: R = R₀ × (1 + r)^t

R = 100 × (1 + 0.1)⁴ = 100 × 1.4641 = 146.41 km.

Soal Grafik Eksponen

Grafik fungsi eksponensial memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan ekonomi. Berikut adalah beberapa soal tentang grafik eksponen.

Soal 16

Sebuah fungsi eksponensial diberikan oleh y = 2^x. Gambarkan grafik fungsi tersebut untuk x antara -2 hingga 2, lalu tentukan nilai y ketika x = 1.

Jawaban:

• Nilai y ketika x = 1: y = 2¹ = 2.
• Poin grafik: (-2, 0.25), (-1, 0.5), (0, 1), (1, 2), (2, 4).

Soal 17

Grafik fungsi eksponensial y = 3^x dipindahkan ke bawah sejauh 2 satuan menjadi y = 3^x - 2. Tentukan nilai minimum fungsi ini dan buatlah tabel nilai y untuk x = -1, 0, 1, dan 2.

Jawaban:

• Nilai minimum: Tidak ada nilai minimum karena grafik tidak pernah mencapai nilai negatif.
• Tabel nilai:

  x	y
  -1	3-1 - 2 = 1/3 - 2 = -5/3
  0	30 - 2 = 1 - 2 = -1
  1	31 - 2 = 3 - 2 = 1
  2	32 - 2 = 9 - 2 = 7

Soal 18

Fungsi y = 2^-x menggambarkan grafik eksponensial dengan peluruhan. Tentukan nilai y untuk x = -2, x = 0, dan x = 2. Gambarkan grafiknya.

Jawaban:

• x = -2: y = 2² = 4.
• x = 0: y = 2⁰ = 1.
• x = 2: y = 2^-2 = 1/4.
• Poin grafik: (-2, 4), (0, 1), (2, 0.25).

Soal 19

Grafik fungsi y = e^x (dengan e ≈ 2.718) digunakan dalam model pertumbuhan. Tentukan nilai y ketika x = -1, 0, 1, dan 2, lalu jelaskan sifat grafik ini.

Jawaban:

• x = -1: y = e^-1 ≈ 1/e ≈ 0.3679.
• x = 0: y = e⁰ = 1.
• x = 1: y = e¹ ≈ 2.718.
• x = 2: y = e² ≈ 7.389.
• Sifat: Grafik ini selalu meningkat untuk nilai x yang lebih besar.

Soal 20

Sebuah grafik eksponensial diberikan oleh y = 5 × 2^x. Jelaskan bagaimana grafik ini berbeda dari y = 2^x, dan tentukan nilai y ketika x = -1, 0, dan 1.

Jawaban:

• Perbedaan: Grafik y = 5 × 2^x lebih curam karena dikalikan dengan faktor 5.
• x = -1: y = 5 × 2^-1 = 5 × 1/2 = 2.5.
• x = 0: y = 5 × 2⁰ = 5 × 1 = 5.
• x = 1: y = 5 × 2¹ = 5 × 2 = 10.

Soal Menentukan Nilai x pada Fungsi Eksponensial

Soal 21

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: 2^x = 16.

Jawaban:

Ubah 16 menjadi basis yang sama: 2^x = 2⁴.

Karena basisnya sama, maka x = 4.

Soal 22

Tentukan nilai x jika: 5 × 3^x = 45.

Jawaban:

Bagikan kedua sisi dengan 5: 3^x = 9.

Ubah 9 menjadi basis yang sama: 3^x = 3².

Karena basisnya sama, maka x = 2.

Soal 23

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan: 4^x = 1/16.

Jawaban:

Ubah 1/16 menjadi basis yang sama: 4^x = 4^-2.

Karena basisnya sama, maka x = -2.

Soal 24

Tentukan nilai x jika: 10^2x = 1000.

Jawaban:

Ubah 1000 menjadi basis 10: 10^2x = 10³.

Karena basisnya sama, maka 2x = 3.

Bagi kedua sisi dengan 2: x = 3/2 = 1.5.

Soal 25

Tentukan nilai x yang memenuhi: e^x = e³ × e^-2, dengan e adalah bilangan eksponensial (≈ 2.718).

Jawaban:

Gunakan sifat eksponen: e^x = e^{3 + (-2)}.

e^x = e¹.

Karena basisnya sama, maka x = 1.