Soal dan Pembahasan Latihan USBN Matematika SMK Tahun 2021

Bismillahirrahmanirrahim,

Assalamuallaikum Wr. Wb.

Ananda yang baik pada hari ini kita kembali bertemu untuk belajar matematika bersama Bapak.

pada kesempatan kali ini kita akan memahas soal USBN Matematika kelas XII.

namun sebelumnya silahkan mengabsen terlebihdahulu pada :

Tugas kalian adalah membuat Catatan dari contoh soal yang diberikan kemudian berkomentar mengenai soal yang dipelajari di kolom komentar jangan lupa dikasih nama dan kelas.

Soal Nomor 1
Bentuk sederhana dari ${\left(\frac{a^2{b}^3{c}^{-2}}{a^{-1}{b}^2{c}^{-1}}\right)}^2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\frac{a^6{b}^2}{c^2}$                         D. $\frac{a^3}{b^2{c}^3}$
B. $\frac{a^6{b}^2}{c^3}$                         E. $\frac{1}{a^6{b}^2{c}^3}$
C. $\frac{a^4}{b^2{c}^3}$

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat perpangkatan (eksponen), diperoleh
$\begin{array}{cc}{\left(\frac{a^2{b}^3{c}^{-2}}{a^{-1}{b}^2{c}^{-1}}\right)}^2& ={\left(\frac{a^{2-(-1)}{b}^{3-2}}{c^{-1-(-2)}}\right)}^2\\ & ={\left(\frac{a^{3}b}{c}\right)}^2\\ & =\frac{a^6{b}^2}{c^2}\end{array}$
Jadi, bentuk sederhana dari ${\left(\frac{a^2{b}^3{c}^{-2}}{a^{-1}{b}^2{c}^{-1}}\right)}^2$ adalah $\frac{a^6{b}^2}{c^2}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bentuk sederhana dari $\frac{8}{3-\sqrt{5}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6-\sqrt{5}$                         D. $6+\sqrt{5}$
B. $-6+\sqrt{5}$                         E. $6+2\sqrt{5}$
C. $6-\sqrt{5}$

Pembahasan

Soal Nomor 3
Hasil dari ${}^3\log 18{-}^3\log 4{+}^3\log 12{-}^3\log 2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0$                    C. $2$                  E. $4$
B. $1$                    D. $3$            

Pembahasan

Dengan menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}& {}^3\log 18{-}^3\log 4{+}^3\log 12{-}^3\log 2\\ & {=}^3\log (18÷4\times 12÷2)\\ & {=}^3\log 27=3\end{array}$
Jadi, hasil dari ${}^3\log 18{-}^3\log 4{+}^3\log 12{-}^3\log 2=3$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear $2x+5y=4$ dan $3x-2y=-13$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{-3,2\}$                      D. $\{-2,3\}$
B. $\{3,-2\}$                      E. $\{2,-3\}$
C. $\{-3,-2\}$

Pembahasan

Dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi (gabungan), akan dicari penyelesaian SPLDV di atas.
$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2x+5y& =4\\ 3x-2y& =-13\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 3\\ \times 2\end{array}\right|& \begin{array}{cc}6x+15y& =12\\ 6x-4y& =-26\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cc}19y& =38\\ y& =2\end{array}\end{array}$
Substitusikan $y=2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan $2x+5y=4$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{cc}2x+5\left(2\right)& =4\\ 2x+10& =4\\ 2x& =-6\\ x& =-3\end{array}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $\{-3,2\}$
(Jawaban A)

Soal Nomor 5
Diketahui matriks $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 0\end{array}\right)$, dan $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$. Hasil dari $A+B-C=$ $\cdots \cdot$
A. $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 3& 2& -1\end{array}\right)$
B. $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 5& 2& -1\end{array}\right)$
C. $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 7& 2& -1\end{array}\right)$
D. $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 3& 2& -1\end{array}\right)$
E. $\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 3& 3& -1\end{array}\right)$

Pembahasan

Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks, diperoleh
$$\begin{array}{cc}& A+B-C\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 2& 2& -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ -2& 1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3+1-1& 1+0-1& -2+2-(-2)\\ 2+3-(-2)& 2+1-1& -1+0-0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 7& 2& -1\end{array}\right)\end{array}$$Jadi, hasil dari $A+B-C=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 7& 2& -1\end{array}\right)$
(Jawaban C)

[collapse]

 Soal Nomor 6
Diketahui matriks $A=\left(\begin{array}{cc}3a-b& -4\\ 8& -2\end{array}\right)$ dan $B=\left(\begin{array}{cc}8& a-3\\ 4& -c\end{array}\right)$. Jika $A=2B$, maka nilai $a,b$, dan $c$ adalah $\cdots \cdot$
A. $a=-4,b=-13$, dan $c=-2$
B. $a=-1,b=-13$, dan $c=2$
C. $a=1,b=-13$, dan $c=1$
D. $a=1,b=12$, dan $c=1$
E. $a=1,b=12$, dan $c=2$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{cc}A& =2B\\ \left(\begin{array}{cc}3a-b& -4\\ 8& -2\end{array}\right)& =2\left(\begin{array}{cc}8& a-3\\ 4& -c\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}3a-b& -4\\ 8& -2\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}16& 2(a-3)\\ 8& -2c\end{array}\right)\end{array}$
Dengan menggunakan kesamaan matriks pada entri baris ke-2 kolom ke-2, diperoleh
$-2=-2c\iff c=1$
Pada entri baris ke-1 kolom ke-2, diperoleh
$-4=2(a-3)\iff a-3=-2\iff a=1$
Pada entri baris ke-1 kolom ke-1, diperoleh
$\begin{array}{cc}3a-b& =16\\ 3\left(1\right)-b& =16\\ 3-b& =16\\ b& =3-16=-13\end{array}$
Jadi, nilai $a=1,b=-13$, dan $c=1$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Jika matriks $A=\left(\begin{array}{cc}-2& -5\\ 1& 3\end{array}\right)$, invers matriks $A$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& -3\end{array}\right)$
B. $\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ -1& -2\end{array}\right)$
C. $\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& 2\end{array}\right)$
D. $\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ -1& 2\end{array}\right)$
E. $\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)$

Pembahasan

Diketahui $A=\left(\begin{array}{cc}-2& -5\\ 1& 3\end{array}\right)$
Determinan matriks ini adalah
$\begin{array}{cc}det\left(A\right)& =-2\left(3\right)-(-5)\left(1\right)\\ & =-6+5=-1\end{array}$
Perhatikan bahwa jika diberikan matriks $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, maka inversnya adalah
$A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$
Dengan demikian, dapat dituliskan
$\begin{array}{cc}{A}^{-1}& =\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}3& -(-5)\\ -1& -2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& 2\end{array}\right)\end{array}$
Jadi, invers dari matriks $A$ adalah $\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& 2\end{array}\right)$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui barisan aritmetika dengan besar suku ke-$10=20$ dan suku ke-$24=48$. Suku ke-$50$ barisan tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $100$                  C. $106$                   E. $116$
B. $102$                  D. $108$

Pembahasan

Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah ${\text{U}}_n=a+(n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b=\frac{{\text{U}}_{24}-{\text{U}}_{10}}{24-10}=\frac{48-20}{14}=2$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan ${\text{U}}_{10}=20$ sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_{10}=a+9b& =20\\ a+9\left(2\right)& =20\\ a+18& =20\\ a& =2\end{array}$
Suku ke-$50$ barisan tersebut adalah
${\text{U}}_{50}=a+49b=2+49\left(2\right)=100$
(Jawaban A) 

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Barisan dan Deret Aritmetika

Soal Nomor 9
Negasi dari pernyataan, “Jika guru kesenian datang, maka semua siswa senang” adalah $\cdots \cdot$

1. Jika guru kesenian datang, maka ada siswa yang tidak senang
2. Guru kesenian datang dan semua siswa senang
3. Guru kesenian datang dan ada siswa senang
4. Jika guru kesenian tidak datang, maka ada siswa yang tidak senang
5. Guru kesenian datang dan ada siswa yang tidak senang

Pembahasan

Pernyataan di atas merupakan bentuk implikasi: Jika $p$, maka $q$.
Misalkan 
$p$: Guru kesenian datang
$q$: Semua siswa senang
berarti
$\sim p$: Guru kesenian tidak datang
$\sim q$: Ada siswa yang tidak senang
Perhatikan bahwa
$p\Rightarrow q\equiv \sim p\vee q$ 
sehingga
$\sim (p\Rightarrow q)\equiv p\wedge \sim q$
Jadi, negasinya adalah “Guru kesenian datang dan ada siswa yang tidak senang”.
(Jawaban E) 

[collapse]

Soal Nomor 10
Akar-akar persamaan kuadrat $4x^2+4x-3=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$ atau $\frac{1}{2}$                        D. $-\frac{3}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{3}{4}$ atau $1$                        E. $-\frac{1}{4}$ atau $3$
C. $-\frac{1}{2}$ atau $\frac{3}{2}$

Pembahasan

Alternatif 1: Metode Pemfaktoran
Pada bentuk persamaan kuadrat $a{x}^2+bx+c=0$, harus dicari dua bilangan yang bila dikalikan, hasilnya adalah $ac$, namun bila dijumlahkan, hasilnya $b$, dengan pemfaktorannya berupa
$\frac{(ax+?)(ax-?)}{a}=0$
Diketahui $4x^2+4x-3=0$. Dalam hal ini, dua bilangan yang dimaksud bila dikalikan, hasilnya $4(-3)=-12$, dan bila dijumlahkan, hasilnya $4$. Dua bilangan itu adalah $+6$ dan $-2$. Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{array}{cc}4x^2+4x-3& =0\\ \frac{(4x+6)(4x-2)}{4}& =0\\ \frac{2(2x+3)2(2x-1)}{4}& =0\\ (2x+3)(2x-1)& =0\end{array}$
Penyelesaian pertama adalah
$2x+3=0\iff 2x=-3\iff x=-\frac{3}{2}$
Penyelesaian kedua adalah
$2x-1=0\iff 2x=1\iff x=\frac{1}{2}$
Alternatif 2: Metode Kuadrat Sempurna
$$\begin{array}{cc}4x^2+4x-3& =0\\ 4(x^2+x)-3& =0\\ 4({(x+\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4})-3& =0\\ 4{(x+\frac{1}{2})}^2-1-3& =0\\ 4{(x+\frac{1}{2})}^2& =4\\ {(x+\frac{1}{2})}^2& =1\\ x+\frac{1}{2}& =\pm 1\\ x& =\pm 1-\frac{1}{2}\\ x_1& =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ x_2& =-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\end{array}$$Alternatif 3: Rumus Kuadrat (ABC)
Dari persamaan $4x^2+4x-3=0$, diketahui nilai $a=4,b=4$, dan $c=-3$.
$\begin{array}{cc}{x}_{1,2}& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-4\pm \sqrt{(4{)}^2-4(4\left)\right(-3)}}{2\left(4\right)}\\ & =\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{8}\\ & =\frac{-4\pm 8}{8}\\ x_1& =\frac{-4+8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\\ x_2& =\frac{-4-8}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}\end{array}$
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah $-\frac{3}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(Jawaban D) 

[collapse]