Soal dan Jawaban Barisan dan Deret Aritmatika untuk Latihan Sumatif akhir jenjang

Belajar Barisan dan Deret Aritmatika

Pendahuluan

Pernahkah Anda menghitung jumlah total hadiah dalam perlombaan yang semakin bertambah setiap tahapnya? Atau mungkin Anda penasaran bagaimana menghitung jarak total yang dicapai oleh seseorang yang berjalan dengan pola tertentu? Semua ini dapat diselesaikan dengan konsep barisan dan deret aritmatika.

Dalam kehidupan sehari-hari, konsep ini sangat berguna untuk memecahkan masalah yang melibatkan pola atau urutan angka. Sebelum kita mendalami materi ini, coba pikirkan: "Jika sebuah tangga memiliki jarak antar anak tangga yang sama, berapa jarak totalnya dari dasar hingga anak tangga ke-20?"

Pengertian Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah susunan bilangan di mana setiap bilangan setelah bilangan pertama diperoleh dengan menambahkan bilangan tetap yang disebut beda (b).

Deret aritmatika adalah jumlah dari beberapa suku pertama dalam barisan aritmatika.

Rumus Umum

1. Barisan Aritmatika

Rumus suku ke-n (Un):
Un = a + (n - 1) × b

2. Deret Aritmatika

Rumus jumlah n suku pertama (Sn):
Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Atau:
Sn = n/2 × (a + Un)

Contoh Soal dan Jawaban

Berikut adalah 20 contoh soal, dari yang mudah hingga sulit:

Contoh 1 (Mudah)

Barisan aritmatika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-10!

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = 3 + (10 - 1) × 4 = 3 + 36 = 39
Jadi, suku ke-10 adalah 39.

Contoh 2 (Mudah)

Barisan aritmatika: 5, 10, 15, ... Berapa jumlah 5 suku pertama?

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 5/2 × (2 × 5 + (5 - 1) × 5) = 5/2 × (10 + 20) = 75
Jadi, jumlahnya adalah 75.

Kesimpulan

Barisan dan deret aritmatika adalah konsep dasar dalam matematika yang sangat aplikatif, baik di dunia akademik maupun kehidupan nyata. Dengan memahami konsep ini, Anda dapat menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan pola dan urutan angka.

Ingatlah: Latihan adalah kunci utama untuk menguasai materi ini. Teruslah mencoba, dan Anda akan semakin mahir. Jika ada pertanyaan, jangan ragu untuk belajar lebih lanjut!

© 2024 Blog Matematika. Semua Hak Dilindungi.

Contoh Soal dan Jawaban

Berikut adalah 20 soal tentang barisan dan deret aritmatika yang disertai dengan jawaban, mulai dari yang mudah hingga sulit:

Soal 1 (Mudah)

Barisan aritmatika: 2, 4, 6, 8, ... Tentukan suku ke-15!

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = 2 + (15 - 1) × 2 = 2 + 28 = 30
Jadi, suku ke-15 adalah 30.

Soal 2 (Mudah)

Barisan aritmatika: 3, 6, 9, 12, ... Berapa jumlah 5 suku pertama?

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 5/2 × (2 × 3 + (5 - 1) × 3) = 5/2 × (6 + 12) = 45
Jadi, jumlahnya adalah 45.

Soal 3 (Mudah)

Barisan aritmatika: 7, 10, 13, ... Berapa beda (b)-nya?

Jawaban: Beda b = U2 - U1
b = 10 - 7 = 3
Jadi, beda (b) adalah 3.

Soal 4 (Mudah)

Barisan aritmatika: 5, 10, 15, ... Tentukan jumlah 10 suku pertama.

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 10/2 × (2 × 5 + (10 - 1) × 5) = 5 × (10 + 45) = 275
Jadi, jumlahnya adalah 275.

Soal 5 (Mudah)

Tentukan suku ke-8 dari barisan 11, 14, 17, ...!

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = 11 + (8 - 1) × 3 = 11 + 21 = 32
Jadi, suku ke-8 adalah 32.

Soal 6 (Sedang)

Diberikan barisan aritmatika: -2, 1, 4, ... Tentukan suku ke-20.

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
Un = -2 + (20 - 1) × 3 = -2 + 57 = 55
Jadi, suku ke-20 adalah 55.

Soal 7 (Sedang)

Diketahui jumlah 8 suku pertama dari barisan aritmatika adalah 96. Jika a = 4, tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
96 = 8/2 × (2 × 4 + (8 - 1) × b)
96 = 4 × (8 + 7b)
96 = 32 + 28b
28b = 64
b = 64/28 = 16/7
Jadi, beda (b) adalah 16/7.

Soal 8 (Sedang)

Jumlah dari 12 suku pertama barisan aritmatika adalah 300. Jika beda b = 2, tentukan suku pertama (a).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
300 = 12/2 × (2a + (12 - 1) × 2)
300 = 6 × (2a + 22)
300 = 12a + 132
12a = 168
a = 14
Jadi, suku pertama (a) adalah 14.

Soal 9 (Sedang)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan suku kelima 25. Tentukan beda (b).

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
U5 = 5 + (5 - 1) × b
25 = 5 + 4b
4b = 20
b = 5
Jadi, beda (b) adalah 5.

Soal 10 (Sedang)

Jumlah 6 suku pertama dari barisan aritmatika adalah 66. Jika suku pertama 3, tentukan suku keenam.

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
66 = 6/2 × (3 + U6)
66 = 3 × (3 + U6)
22 = 3 + U6
U6 = 19
Jadi, suku keenam adalah 19.

Soal 11 (Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 2 dan suku terakhir 50 dengan jumlah 13 suku. Tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
13/2 × (2 + 50) = 338
Maka solusi lengkap di lanjutkan hingga 20....

Soal 11 (Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 2 dan suku terakhir 50 dengan jumlah 338. Tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
338 = n/2 × (2 + 50)
338 = n/2 × 52
n = 338 × 2 / 52 = 13
Un = a + (n - 1) × b
50 = 2 + (13 - 1) × b
50 = 2 + 12b
12b = 48
b = 4
Jadi, beda (b) adalah 4.

Soal 12 (Sulit)

Jika jumlah 15 suku pertama adalah 120 dan suku pertama adalah 2, tentukan beda (b).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
120 = 15/2 × (2 × 2 + (15 - 1) × b)
120 = 15/2 × (4 + 14b)
240 = 15 × (4 + 14b)
240 = 60 + 210b
180 = 210b
b = 180 / 210 = 6/7
Jadi, beda (b) adalah 6/7.

Soal 13 (Sulit)

Diketahui barisan aritmatika dengan suku pertama 8 dan beda 3. Berapakah jumlah 20 suku pertamanya?

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
Sn = 20/2 × (2 × 8 + (20 - 1) × 3)
Sn = 10 × (16 + 57)
Sn = 10 × 73 = 730
Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 730.

Soal 14 (Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku ke-3 sebesar 15 dan suku ke-10 sebesar 50. Tentukan beda (b) dan suku pertama (a).

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
U3 = a + 2b = 15
U10 = a + 9b = 50
(a + 9b) - (a + 2b) = 50 - 15
7b = 35
b = 5
a + 2(5) = 15
a = 15 - 10 = 5
Jadi, beda (b) adalah 5 dan suku pertama (a) adalah 5.

Soal 15 (Sulit)

Diketahui jumlah 20 suku pertama adalah 2100, dan suku pertama adalah 20. Tentukan suku terakhir (U20).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
2100 = 20/2 × (20 + U20)
2100 = 10 × (20 + U20)
210 = 20 + U20
U20 = 210 - 20 = 190
Jadi, suku terakhir (U20) adalah 190.

Soal 16 (Sangat Sulit)

Jika suku pertama 4, beda 6, dan jumlah n suku pertama adalah 630, tentukan nilai n.

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
630 = n/2 × (2 × 4 + (n - 1) × 6)
630 = n/2 × (8 + 6n - 6)
630 = n/2 × (6n + 2)
1260 = n(6n + 2)
6n² + 2n - 1260 = 0
n² + n - 210 = 0
(n + 15)(n - 14) = 0
n = 14 (nilai positif).
Jadi, nilai n adalah 14.

Soal 17 (Sangat Sulit)

Barisan aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 7. Berapa suku terkecil yang lebih besar dari 200?

Jawaban: Un = a + (n - 1) × b
200 = 5 + (n - 1) × 7
200 = 5 + 7n - 7
200 = 7n - 2
202 = 7n
n = 202 / 7 = 28,85 (dibulatkan ke atas)
n = 29
Un = 5 + (29 - 1) × 7 = 5 + 196 = 201
Jadi, suku terkecil yang lebih besar dari 200 adalah 201.

Soal 18 (Sangat Sulit)

Barisan aritmatika memiliki 25 suku dengan jumlah total 600. Jika beda adalah 4, tentukan suku pertama (a).

Jawaban: Sn = n/2 × (2a + (n - 1) × b)
600 = 25/2 × (2a + (25 - 1) × 4)
600 = 25/2 × (2a + 96)
1200 = 25 × (2a + 96)
1200 = 50a + 2400
50a = -1200
a = -24
Jadi, suku pertama (a) adalah -24.

Soal 19 (Sangat Sulit)

Jumlah 30 suku pertama adalah 2400. Jika suku terakhir adalah 160, tentukan suku pertama (a).

Jawaban: Sn = n/2 × (a + Un)
2400 = 30/2 × (a + 160)
2400 = 15 × (a + 160)
2400 = 15a + 2400
15a = 0
a = 0
Jadi, suku pertama (a) adalah 0.

Soal 20 (Sangat Sulit)

Jika jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dinyatakan oleh rumus Sn = 3n² + 2n, tentukan suku ke-10.

Jawaban: Un = Sn - S(n-1)
S10 = 3(10)² + 2(10) = 300 + 20 = 320
S9 = 3(9)² + 2(9) = 243 + 18 = 261
U10 = S10 - S9 = 320 - 261 = 59
Jadi, suku ke-10 adalah 59.